9: Tangrams amb trampa

Problema 9

El tangram és un trencaclosques d’origen xinès —aquest sí, n’hi ha molts d’altres que s’han venut com a xinesos que no ho són—, que consisteix en set peces amb les quals es poden formar diverses figures.
En particular poden formar un quadrat, i d’una sola manera, llevat de girs i simetries.

Els set tangrams dins una caixa, en la seva configuració quadrada

 Sovint el trencaclosques consisteix a reproduir amb les peces una forma que representa d’una manera més o menys fidel un ésser viu o un objecte, però aquí ens interessarem més per les formes geomètriques.
A diferència d’altres trencaclosques com per exemple els pentominós, els tangrams són arbitraris: no són totes les formes que gaudeixen d’una determinada propietat sinó un conjunt escollit per altres motius, des de la facilitat de construcció al fet de poder-se empaquetar en forma de quadrat.
Cinc dels tangrams són triangles, dos de grans un de mitjà i dos de petits, una altre un quadrat, i el darrer un romboide, que és l’única peça que no és igual a ella mateixa si la posem cap per avall, té dues orientacions. Totes les peces són múltiples del triangle més petit: el triangle mitjà, el quadrat i el romboide es poden formar amb dos triangles petits, i els triangles grossos amb quatre. L’àrea total és igual a setze triangles petits.
Alguns trencaclosques poden ser força difícils, per exemple, construir tos els pentàgons possibles amb les set peces: n’hi ha 53 de diferents, dos d’ells convexes, i 51 còncaus.
El problema que proposo aquí és molt més fàcil però té trampa…

Dotze configuracions amb una determinada propietat

A la figura hi podem veure 12 configuracions de tangrams que tenen una propietat en comú. No són totes les possibles, en falta alguna.

Tres possibles solucions

 A la presumpta solució veiem tres possibles configuracions més que podrien ser les que ens manquen, però hi ha gat amagat, no és la solució vàlida.

Quina és la propietat en comú?
Quines són les configuracions que manquen?
Per què no són bones les tres solucions de la segona figura, on és la trampa?

Solució 9

La propietat que tenen en comú les 12 configuracions de la figura és ser convexes, que informalment és el mateix que dir que si les envoltéssim amb una goma elàstica, aquesta tocaria a la figura en tota la volta.

En el cas dels tangrams una altra manera de dir figura convexa és dir que tots els angles del seu perímetre són inferiors a 180º.

Hi ha altres configuracions convexes a part de les 12 de la figura?

Sí, n'hi ha una altra.

I com és que al la figura de les possibles solucions sembla haver-n’hi tres?

Dues d’elles son trucs fotogràfics, només és correcta la imatge del mig.

Dues configuracions amb trampa i una de correcta

A la imatge es pot veure que realment les configuracions dels extrems no són convexes, a la foto modificada, canviant lleugerament la mida d’algunes de les peces no s’apreciava, però eren configuracions que amb les set peces de mides correctes no existeixen.