11: Circuit de diferents distàncies

Problema 11 

Sobre una quadrícula, en el nostre cas de rajoles, hem col·locat vint-i-vuit monedes.

Suposem que la quadrícula és exacta, amb una distància unitat entre dos encreuaments contigus i que les monedes estan exactament ben posades a les interseccions.

28 monedes sobre la quadrícula

Les distàncies en línia  recta entre dues monedes varien entre 1 i aproximadament 18,6 que és la distància entre les monedes extremes de la figura. Algunes monedes estan separades d’altres, distàncies que són exactament números enters.

Es tracta de trobar dotze monedes que formin un circuit tancat, de manera que les seves distàncies —en qualsevol ordre— siguin tots els valors enters compresos entre l’1 i el 12. Circuit tancat vol dir que de la dotzena moneda passem a la primera.

El circuit pot passar per damunt de l’emplaçament d’una moneda que no hi formi part.

La condició suplementària és que aquest circuit no tingui cap creuament, dit d’una altra manera, que no tingui una forma equiparable a un 8.

Solució 11

Aquest problema necessita per a la seva solució constatar el fet que les distàncies que són “exactament números enters” no vol dir que sigui entre dos punts situats a la mateixa vertical o horitzontal de la quadrícula.

Punts no ortogonals separats exactament 5 i 10 unitats

Hi ha dos casos amb números de l’1 al 12 en que això pot passar, són les solucions enteres del teorema de Pitàgores que ens proporcionen triangles rectangles de costats 3, 4 i 5 o 6, 8 i 10, essent els números vermells les hipotenuses esbiaixades respecte la quadrícula.
Vist això i trobats quins són els punts del problema allunyats 5 i 10 unitats sense seguir la quadrícula, podem trobar la solució:

Circuit amb 12 segments diferents

La manera més ràpida pot ser examinant totes les monedes que estiguin separades 10, 11 i 12 unitats, i aleshores provar totes les combinacions que no siguin impossibles —per exemple que no es creuïn—, i a partir d’aquest punt anar completant amb els segments menors.