10: Calendari de daus

Problema 10

A casa hi tinc un calendari, bàsicament com a objecte de decoració, que consisteix en dos daus amb números amb els que es pot formar el dia del mes, i unes barres amb els noms dels mesos. Cada dia cal reordenar les xifres i si s’escau, canviar el mes.

Calendari de daus

La primera qüestió, fàcil, és com es poden col·locar les xifres als dos daus de manera que sigui possible formar amb ells qualsevol número entre el 01 i el 31?

Veiem que els mesos estan pintats simplement sobre unes barres que són uns prismes de secció quadrada i n’hi ha tres a sota dels daus. Aquí ens podem preguntar si no seria possible formar els noms dels mesos —els seus abreujaments de tres lletres— amb tres daus amb sis lletres a cadascun d’ells? O demostrar que és impossible.

Tres daus amb lletres a les seves cares

Solució 10
Si hem de poder fer qualsevol número entre el 01 i el 31, en particular haurem de poder fer 11 i 22, cosa que vol dir que als dos daus hi ha d’haver les dues xifres 1 i 2.
Ens queden quatre cares lliures a cada dau.
Si poséssim el 0 només en un dels daus, no podríem fer totes les combinacions del 03 al 09 amb les quatre cares lliures de l’altre, o sigui que el 0 també ha d’anar als dos daus.

Els dos daus amb les xifres 0, 1 i 2

Resten tres cares lliures a cada dau.
Col·loquem al primer el 3, el 4 i el 5.
Ara ja podem fer els següents dies:
01 02 03 04 05 10 11 12 13 14 15 20 21 22 23 24 25 30 i 31
Ens manquen tots els dies que acaben en 6, 7, 8 o 9, però només tenim tres cares lliures a l’altre dau.
La solució és senzilla, pel 6 i pel 9 podem fer servir el mateix dibuix posat cap per avall, en la major part de les tipografies les dues xifres són idèntiques llevat de l’orientació.
Col·loquem doncs a les cares lliures un 6 —que també val per a 9—, un 7 i un 8.
Amb això ja podem composar tots els dies del mes.

Les altres cares dels dos daus

Demostrar la impossibilitat amb tres daus de sis lletres de fer tots els abreujaments dels mesos és una tasca que pot semblar complexa, però en la que no intervé cap concepte difícil. Senzillament cal anar posant les deduccions de manera ordenada:

Els dotze mesos de l’any, abreujats a 3 lletres són:
GEN FEB MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OCT NOV DES
En total, i en ordre alfabètic, les lletres emprades són:
AAAA BB C D EEEE F GG I JJ L MM NNN OOO RR SS TT UU V
Són en total 18 lletres diferents, o sigui que entre els tres daus tenim el nombre just de cares per encabir-les totes.
D’aquí, i del fet que no hi ha lletres repetides en l’abreujament de cap dels mesos, es dedueix fàcilment que les tres lletres de cadascun dels mesos han d’anar a daus separats que arbitràriament anomenarem 1, 2 i 3.
Comencem assignat MAR.
1: M
2: A
3: R
Per poder fer ABR, cal posar la B al dau 1. Per poder fer MAI cal posar la I al dau 3.
1: M B
2: A
3: R I
Passem a AGO. Podem posar la O al dau 1 i la G al 3 o a l’inrevés, examinem d’entrada el primer cas on afegirem les noves lletres en vermell:
1: M B O
2: A
3: R I G
Ara la N només pot anar al dau 2, ja que per culpa de la O de NOV no pot anar al 1, ni per culpa de la G de GEN al 3.
1: M B O
2: A N
3: R I G
Però aleshores E no pot anar a cap dau ja que és incompatible amb la B —per FEB— del primer, la N —per GEN— del segon, i la G —també per GEN— del tercer. O sigui que la O i la G d’AGO no poden anar en les posicions que havíem provat. La conclusió és que la G va al dau 1 i la O al 3. Les tornem a escriure en negre.
1: M B G
2: A
3: R I O
Per idèntics motius que abans —GEN i NOV— la N ha d’anar al 2
1: M B G
2: A N
3: R I O
Per poder fer GEN la E ha d’anar al 3; per fer FEB la F al 2; per fer NOV la V al 1
1: M B G V
2: A N F
3: R I O E
Examinem SET i DES. Tenint en compte que la E és al dau 3, veiem que la S ha d'anar al 1 o al 2, i aleshores D i la T han d’anar juntes al dau 1 o 2 on no hi hagi la E.
Per poder fer OCT la C a d’anar al dau que no té ni la O —el 3— ni la T, o sigui que ha d’anar al mateix dau que la S.
1: M B G V (D T)
2: A N F (S C)
3: R I O E
Les dues parelles de lletres entre parèntesi són intercanviables. Però ara podem veure que per fer JUN cal posar o la J o la U al dau 1, i ja hi tenim 6 lletres. La conclusió és que és impossible posar els 12 mesos en tres daus.

No hi ha aquí cap truc tipus escriure en minúscules i aprofitar que la u i la n es poden fer amb la mateixa forma invertida —això si que funciona amb els mesos en anglès, aprofitant a més que la p i la d també es poden fer amb el mateix caràcter—.
Potser l’únic truc seria escriure les lletres a la “romana” que no distingien entre U i V —ni entre I i J, però aquesta equivalència no cal, tenim espai per a la J—:
1: M B G V D T
2: A N F S C L
3: R I O E J
Amb aquesta disposició els mesos serien:
GEN FEB MAR ABR MAI JVN JVL AGO SET OCT NOV DES