8: Un núvol de punts

Problema 8

Marquem tres punts —X, Y i Z— que formin els vèrtexs d’un triangle equilàter.

Escollim ara un punt al atzar de l’interior d’aquest triangle, per exemple el que marquem amb el número 1 a la figura.

Els primers dotze punts de la figura

Aleshores escollim al atzar un dels tres punts inicials. En el nostre exemple Y. Marquem ara amb el número 2 el punt mig entre 1 i Y.

Continuem escollint al atzar qualsevol dels tres punts X, Y o Z, i anem marcant cada vegada el punt situat a mig camí entre el darrer punt i el vèrtex escollit.

En l’exemple de la figura la seqüència de vèrtexs és Y, Y X, Y, Z, Z, X, X, Y, Z, X… hi podem veure numerats els dotze primers punts. Insisteixo, és només un cas particular, la seqüència pot ser qualsevol al atzar i els punts aleshores serien uns altres.

Imaginem que continuem el procés fins col·locar uns quants milers de punts a la figura.

Nou possibles respostes al problema

A quina de les nou imatges s’assemblarà més el núvol de punts resultant d’aquest procés?

 Solució 8

La resposta és la figura D.

Si repetidament partim d’un punt a l’atzar dins del triangle, la seva distribució seria la de la figura A del diagrama que segueix:

Els 9 primers passos de la construcció del triangle de Sierpiński

Si apliquem la transformació —el punt a mig camí d’un dels tres vèrtexs escollit a l’atzar— passem a la distribució de la figura B: un punt que partís de la posició del triangle clar central aniria a parar necessàriament a un dels tres triangles foscos que toquen cadascun dels vèrtexs; un punt ja dins d’un d’aquests triangles aniria a parar al mateix triangle o a qualsevol dels altres dos foscos depenent de a quin vèrtex s’apropés.

En la segona iteració la figura B es transforma en C, cal veure com les zones blanques resten fora de l’abast dels punts.

A continuació la figura serà D, E, F, G, H, I… i a partir d’aquí ja no la podrem distingir a ull de l’anterior.

Dit d’una altra manera, a cada pas, la figura de la distribució dels punts es triplica, es disminueix a la meitat de la mida i es ressitua tocant a cadascun dels vèrtexs del triangle.

En el límit, aquesta figura és el que s’anomena triangle de Sierpiński, en honor al matemàtic polonès que el va descriure l’any 1915.

Si partim d’un únic punt a l’atzar, a cada iteració s’anirà aproximant als punts del triangle de Sierpiński, al cap de molt poques —posem-hi vuit— ja serà a menys d’un píxel en la resolució de la figura.

El fet que el salt del punt sigui cada vegada al atzar, provoca l’efecte que aquesta aproximació és a qualsevol punt del fractal amb la mateixa probabilitat.

O sigui que llevat de les primeres poques iteracions, a efectes visuals el nostre punt anirà recorrent el triangle de Sierpiński, encara que en realitat mai hi arriba, senzillament s’hi apropa en el límit.

La figura resultant serà l’aproximació visual al fractal, potser afegint-hi mitja dotzena de punts inicials que veurem aïllats en zona blanca.