4: Seixanta-quatre igual a seixanta-cinc?

Problema 4

Observen aquest quadrat format per quatre peces. La quadrícula ens permet veure que la seva àrea és 8 × 8 = 64 unitats quadrades.

Quatre peces formen un quadrat de 8 × 8

A continuació, reordenem les peces —les dues trapezoïdals les hem de girar 90º— per formar un rectangle. Si ara mesurem l'àrea podem veure que és de 5 × 13 = 65 unitats quadrades.

Les mateixes quatre peces formen un rectangle de 5 × 13

D'on ha sortit el quadrat suplementari?

Solució 4

Les quatre peces que formen el quadrat, tenen sumades, efectivament, una àrea de 64. Però no són exactament iguals a les quatre peces que formen la figura rectangular.

 Il·lustració acurada: les quatre peces del quadrat dins el rectangle

En un trencaclosques real, amb les peces fabricades amb una certa tolerància, vores una mica arrodonides i talls entre les peces de gruix no menyspreable, no es nota gaire. En un dibuix acurat és més fàcil d'apreciar.

Podem observar en particular que per fer veure que les peces ocupaven tot el rectangle de 5 × 13, les dues peces triangulars s'havien deformat per convertir-les en quadrilàters amb el quart vèrtex situat als punts blancs del centre del dibuix.

L'àrea de la zona blava, és exactament s'una unitat quadrada, precisament la que ens havia aparegut del no res.

Teorema de Pick

Per calcular aquesta àrea, podem fer ús d'un teorema publicat per primera vegada l'any 1899 pel matemàtic austríac Georg Alexander Pick que afirma:

L'àrea d'un polígon simple —sense forats ni costats que s'intersequin— que tingui tots els vèrtex en els punts d'una quadrícula regular, és igual a I + V/2 – 1, essent I el nombre de punts de la quadrícula interiors al polígon i V els que cauen en el seu perímetre, siguin els vèrtex o punts continguts en un dels costats.

En el cas del nostre problema, la figura blava és un polígon que té els quatre vèrtex a punts de la quadrícula —V = 4—, i cap punt a l'interior —I = 0—, o sigui que la seva superfície serà: 0 + 4/2 – 1 que val, precisament, 1.

Aplicant el mateix teorema podem veure que els triangles de la figura tenen una àrea de 12, i els trapezis de 15, o sigui un total de 12 + 12 + 15 + 15 = 64 unitats quadrades.

Els "triangles" tramposos de la figura rectangular, són de fet quadrilàters, amb 4 vèrtex a la quadrícula, 9 punts de la quadrícula als costats i 7 punts interiors; en conseqüència la seva superfície és de 12,5.