2: Triangle de diferències

Problema 2

Observem aquesta disposició triangular de fitxes numerades de l'1 al 10:

Triangle de diferències d'ordre 4, amb els números de l'1 al 10

Podem observar que cada fitxa té un valor numèric que és la diferència dels de les dues fitxes adjacents de la rengla superior. Diferència presa en valor absolut, sense tenir en compte el signe.

És possible construir un triangle similar de costat 5, amb fitxes —o boles de billar, per exemple— numerades de l'1 al 15?

I amb 21 fitxes formant un triangle de 6 de costat?

 Solució 2
Tan sols hi ha un triangle —llevat de la seva imatge especular— amb els números de l'1 al 15 que compleixi les condicions del problema:

La solució única del problema de les diferències

La recerca de solucions es pot simplificar una mica si observem que el número 15 ha d'estar necessàriament a la rengla superior i que cadascun dels números 1, 2, 3, 4 i 5 han d'ocupar files diferents.
Els triangles d'ordre 1, 2, 3, i 4 —més fàcils— tenen respectivament  1, 2, 4 i 4 solucions —sempre descartant les simetries especulars.
El triangle d'ordre 6, amb 21 números no té solució. Es pot demostrar per un argument de paritat considerant els números mòdul 2. En primer lloc hem de adonar-nos que mòdul 2, la suma i la diferència coincideixen.
Anomenem a, b, c, d, e, f als números del rengle superior.
La segona fila serà: a+b, b+c, c+d, d+e, e+f.
La tercera: a+2b+c, b+2c+d , c+2d+e, d+2e+f
La quarta: a+3b+3c+d, b+3c+3d+e, c+3d+3e+f
La cinquena: a+4b+6c+4d+e, b+4c+6d+4e+f
La sisena: a+5b+10c+10d+5e+f
La suma de tots els números del triangle serà, sempre mòdul 2, 6a+20b+34c+34d+20e+6f que necessàriament és un número parell ja que ho son tots els coeficients de l'expressió. Però la suma dels número de l'1 al 21 és 231, que és senar, o sigui que hem arribat a una contradicció i la solució no és possible.
La mateixa demostració val per a tots els triangles d'ordre 2ⁿ–2 llevat del d'ordre 2.
Hi ha una demostració que no existeix solució per a cap triangle de diferències d'ordre 9 o superior; els casos 7 i 8 es poden verificar mitjançant ordinador i resulta que tampoc no en tenen, o sigui que el triangle de la il·lustració és el més gran possible.