dimecres, 26 de gener del 2011

3: Totes les lletres dels números

Problema 3
A la il·lustració —no, no és una fotografia— hi podem observar com s’escriuen els números en català. Parlem aquí de nombres inferiors a 1.000.000.000.000 que és un bilió i que empra un mot no llistat a la taula, concretament és el primer número que conté la lletra B. Tots els números inferiors a un bilió es poden construir a base de juxtaposar les paraules de la llista, afegint-hi en alguns casos el guionet.
Podem veure, per exemple que les lletres M i L, només apareixen a les paraules MIL i MILIO —aquí, com en els mots encreuats, prescindim de l’accent—; una altra lletra, la X, només surt dins SEIXANTA; la Z només en els nombres entre l’ONZE i el SETZE; la Q, a tots els que contenen QUATRE, QUINZE, QUARANTA o CINQUANTA. Cada lletra té la seva pròpia idiosincràsia, els números entre el DEU i el SETZE introdueixen una curiosa irregularitat lèxica en la seqüència que ens complica una mica el problema…

Les paraules que forment tots els números inferiors a un bilió
Els problema d’avui consisteix en trobar el número enter més petit que conté, al menys una vegada cadascuna, totes les lletres possibles —Excloent la B de bilió que no ens aportaria res a la qüestió—.
Com a problemes subsidiaris podem preguntar també:
Quin és el número més gran que no repeteix cap lletra?
Quin és el número més petit on cada lletra que hi surt, al menys ho fa dos cops?

Solució 3
Aquesta mena de problemes, tenen l’avantatge que no calen gaire coneixements previs, llevat de saber com s’escriuen els números.
De totes maneres no vol dir això en absolut que siguin fàcils. Cal actuar amb força cura per tal de no ometre solucions, i cal elaborar estratègies adequades, per tal de no convertir-los en un examen inacabable, a mà, de totes les possibilitats. 
Deixem el problema principal pel final.
El segon problema ens parla del número el més gran possible sense repetició de lletra.
És evident que qualsevol número superior a un milió, tindrà al menys dues I, o sigui que la solució serà inferior a aquest valor.
Anem baixant per la sèrie dels “cents mils” i marquem les lletres que presentin repeticions: nou-cents mil, vuit -cents mil, set-cents mil, sis-cents mil, cinc-cents mil, quatre-cents mil, tres-cents mil, dos-cents mil… cent mil.
Cent mil, no té repetició de lletra, a partir d’aquí podem pujar fent servir valor que no continguin cap lletra ja emprada, Quins hi ha disponibles?
Resseguint la taula, podem veure que les números que tenim disponibles sense emprar cap de les lletres C, E, I, L, M, N o T són limitats, només tenim l’u i el dos. En conseqüència, el número més gran que es pot escriure sense repetir lletres és CENT Dos Mil U —o cent dos mil si per a 1 només admetem el cardinal un—.


El tercer problema exigeix que qualsevol lletra, o bé no aparegui, o bé surti al menys dues vegades al nom del número.
El procediment és més llarg que per trobar la solució del cas anterior, cal primer mirar tots els números fins al cent, combinant les unitats amb les desenes. És fàcil constatar que sempre hi ha alguna lletra que no es repeteix. El numero que busquem, serà doncs superior a cent.
Suposem que és menor que mil. Com que necessàriament tindrà una C de cent o cents, l’altre C ha d’aparèixer a cinc o a cinquanta. Podem descartar el cinquanta ja que la Q només es podria duplicar amb una altra de quatre, i no hi ha cap número de la forma x-cents cinquanta-quatre o quatre-cents cinquanta-x que dupliqui totes les lletres, perquè la xifra x, com a mínim hauria de tenir una I i una R que a la resta del número només surten un cop.
Sabem, doncs, que el número que busquem comença per cinc-cents, acaba en cinc, o ambdues coses. Podem descartar fàcilment que les desenes siguin zero, perquè amb una sola xifra d’unitats o centenes, no podem duplicar les lletres I, E i T.
Descartem també que la desena sigui vint o quaranta, perquè per duplicar respectivament la V o la Q, necessitaríem respectivament vuit o quatre i aleshores, en un cas ens mancaria, per exemple, una segona E, i en l’altre, una I. Seixanta, encara és més fàcil d’eliminar, ja que no hi pot haver una segona X.
Passem a setanta. Hauria de ser un número de la forma x-cents setanta-cinc o cinc-cents setanta-x. observem que fins aquí, totes les lletres estan repetides llevat de la I. Però la I la podem introduir fent precisament que x sigui cinc, que les altres lletres també les té duplicades.
En conseqüència el número buscat és CINC-CENTS SETANTA-CINC.


La deducció és un xic llarga i embolicada, i no dubto que se’n pugui fer una de més curta o entenedora, però és un exemple de recerca sistemàtica, amb pistes que ens estalvien de mirar tots els casos d’un en un.
No posaré aquí tots els passos detallats per trobar la solució al  problema principal: trobar el menor número que contingui totes les lletres possibles.
Peró sí algunes deduccions bàsiques.
Com que el número ha de tenir una X, ha de contenir seixanta.
Com que ha de tenir M i L, ha de contenir mil.
Com que ha de tenir Z, el número que cerquem ha de portar onze, dotze, tretze, catorze, quinze o setze, i si no és als milers, és incompatible amb que les desenes siguin seixanta. O sigui que el número, com a mínim serà de la forma (onze~setze) mil x seixanta-y, on x és de la forma cent o z-cents, i y és una dígit.
Altres lletres que ens donen pistes són la Q i la V.  La Q sols pot aparèixer a quatre o quinze, perquè quaranta seria incompatible amb seixanta, si és que no ens en anem a números molt alts. La V, per idèntic raonament, només pot venir de vuit i no de vint.
Amb onze mil quatre-cents seixanta-vuit ens manca la D, invertint quatre i vuit per fer onze mil vuit-cents seixanta-quatre, també; o sigui que hem de passar a DOTZE mil quatre-cents seixanta-vuit per tenir la solució.




Cap comentari:

Publica un comentari a l'entrada