divendres, 24 de desembre de 2010

1: Dómino i escacs

Problema 1
Les peces de dòmino, estan formades per dos quadrats adjacents.
Si aquests quadrats són de la mateixa mida que les caselles d'un tauler d'escacs —que són 64, exactament 8 × 8— és molt fàcil veure que hi podem col·locar precisament 32 dòminos.
Si ara posem els dos reis en les seves caselles inicials —e1 i e8—, ens en restaran 62 de lliures i podem comprovar a la fotografia que ara hi caben precisament 31 dòminos.
Suposarem aquí que cada dòmino cobreix exactament dues caselles.

Un tauler d'escacs amb 2 reis i 31 dòminos
El problema consisteix en saber quants dòminos podem col·locar en el tauler si els reis estan posats a les caselles del l'angle inferior dreta i a la del superior esquerra —h1 i a8 en la notació usual dels escacs—.

Solució 1
Encara que quedin 62 caselles lliures i cada dòmino n'ocupi dues, no pobem col·locar-ne 31, sinó només 30.
El motiu és que els dos reis estan en una casella de color blanc, o sigui que en el tauler restaran 32 caselles negres i 30 de blanques lliures.
Però com que cada dòmino ocupa una casella blanca i una de negra, quan haguem posat 30 dòminos, només restaran dues caselles negres lliures i aleshores serà impossible col·locar la trenta-unena fitxa.

El tauler d'escacs amb els dos reis a l'angle i 30 dòminos.
 Les dues caselles lliures són negres.